連続複利の考え方 - ゼミのページへようこそ

利回りを考える基本となリ、人的資本の理論でも登場する、連続複利の式を導出しましょう。

まず、単年度の利まわりを $r$ とするならば、現在の貨幣価値は、1年後には $(1 + r)$ になりますね。これは、1年後に $r$ の利子が加わると解釈できますね。 $n$ 年後には、 $(1 + r)^n$ になりますね。
では、1年に2回利払いがあるとするとどうなるでしょうか。まず、１回にもらえる利子は半額になるので、 $\frac{r}{2}$ となりますね。一方、利子をもらえる回数は倍増するので、 $2n$ ですね。よって、 $n$ 年後には、 $(1 + \frac{r}{2})^{2n}$ になりますね。そして、1年にk回利払いがあるとするならば、 $(1 + \frac{r}{k})^{kn}$ になります。連続複利とは、この $k$ が無限大（つまり利子が連続的に加算される）であることを意味します。これを数式で表すと、 $\lim_{k \to \infty}(1 + \frac{r}{k})^{kn}$ となります。 $\frac{r}{k} = \frac{1}{K}$ と置き換えてやれば、式は $\lim_{K \to \infty}(1 + \frac{1}{K})^{Krn}$ となり、公式から、 $e^{rn}$ が導かれるのです。